Existence de champs magnétiques faiblement quasi symétriques sans transformation rotationnelle dans les domaines toroïdaux asymétriques

Rapports scientifiques volume 12, Numéro d'article : 11322 (2022) Citer cet article

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Une quasi-symétrie est une symétrie spéciale qui améliore la capacité d'un champ magnétique à piéger les particules chargées. Les champs magnétiques quasi-symétriques peuvent permettre la réalisation de réacteurs à fusion de nouvelle génération (stellarators) avec des performances supérieures par rapport aux conceptions de tokamak. Néanmoins, l'existence de telles configurations magnétiques manque de preuve mathématique en raison de la complexité des équations gouvernantes. Ici, nous prouvons l'existence de champs magnétiques faiblement quasi symétriques en construisant des exemples explicites. Ce résultat est obtenu par une paramétrisation sur mesure du champ magnétique et du domaine toroïdal d'accueil, qui sont optimisés pour respecter la quasi-symétrie. Les solutions obtenues tiennent dans un volume toroïdal, sont lisses, possèdent des surfaces de flux imbriquées, ne sont pas invariantes sous les isométries euclidiennes continues, ont un courant non nul, présentent une transformée rotationnelle nulle et s'inscrivent dans le cadre de la magnétohydrodynamique anisotrope. En raison de la transformée rotationnelle évanescente, ces solutions ne sont cependant pas adaptées au confinement des particules.

La fusion nucléaire est une technologie qui a le potentiel de révolutionner la façon dont l'énergie est récoltée. Dans l'approche de la fusion nucléaire basée sur le confinement magnétique, les particules chargées (le combustible du plasma) sont piégées dans un réacteur en forme d'anneau (toroïdal) à l'aide d'un champ magnétique conçu de manière appropriée. Dans un tokamak1, la cuve du réacteur est à symétrie axiale (voir Fig. 1a). La symétrie axiale est mathématiquement décrite par l'indépendance des grandeurs physiques, telles que le champ magnétique \(\varvec{B}\) et son module B, de l'angle toroïdal \(\varphi \). Cette symétrie est cruciale pour la qualité du confinement du tokamak, car elle assure la conservation du moment cinétique \(p_{\varphi }\) des particules chargées. Cependant, la constance de \(p_{\varphi }\) n'est pas suffisante pour contraindre les orbites des particules dans un volume limité car, en plus de la tendance à suivre les lignes de champ magnétique, les particules dérivent à travers le champ magnétique. Cette dérive perpendiculaire finit par provoquer une perte de particules au niveau de la paroi du réacteur, détériorant le confinement nécessaire pour entretenir les réactions de fusion. Dans un tokamak, les dérives perpendiculaires sont donc supprimées en entraînant un courant électrique axial à travers la zone de confinement, ce qui génère un champ magnétique poloïdal en plus du champ magnétique externe produit par les bobines entourant l'enceinte de confinement (voir Figs. 1a, b). Le champ magnétique global forme donc des lignes de champ hélicoïdales torsadées autour du tore. Malheureusement, le contrôle d'un tel courant électrique est difficile car il est maintenu par la circulation du combustible lui-même, ce qui rend le fonctionnement régulier de la machine un défi pratique.

(a) et (b) : configuration du champ magnétique dans un tokamak à symétrie axiale. Le champ magnétique de confinement total \(\varvec{B}=\varvec{B}_{\varphi }+\varvec{B}_{\vartheta }\) est donné par une composante axiale (toroïdale) \(\varvec{ B}_{\varphi }\) produit par des bobines externes plus une composante poloïdale \(\varvec{B}_{\vartheta }\) générée par un courant électrique circulant dans la direction \(\varphi \). Ce courant est entretenu par le plasma confiné lui-même. Ici, \(\varphi \) et \(\vartheta \) désignent respectivement l'angle toroïdal et l'angle poloïdal. Pour simplifier, la cuve du réacteur séparant les bobines externes de la zone de confinement n'est pas représentée. (a) Le champ magnétique total \(\varvec{B}\) sur une surface de flux \(\Psi =\mathrm{constante}\) tel que \(\varvec{B}\cdot \nabla \Psi =0\ ). (b) Vue schématique de la composante toroïdale \(\varvec{B}_{\varphi }\) et de la composante poloïdale \(\varvec{B}_{\vartheta }\) sur une section transversale \(\varphi =\mathrm {constant}\). (c) Représentation schématique d'un stellarator : le champ magnétique de confinement est asymétrique et entièrement produit par des bobines externes, ce qui implique que le courant électrique associé s'annule dans la région de confinement, \(\varvec{J}=\nabla \times \varvec{B }=\varvec{0}\). Figure créée à l'aide de Wolfram Mathematica 12.2 (www.wolfram.com/mathematica).

Contrairement aux tokamaks, les stellarators2,3 sont conçus pour confiner les particules chargées à travers un champ magnétique sous vide produit par des bobines asymétriques convenablement conçues (voir Fig. 1c). Dans ce contexte, la symétrie est définie comme l'invariance sous des isométries euclidiennes continues, c'est-à-dire des transformations de l'espace euclidien tridimensionnel qui préservent la distance euclidienne entre les points. En pratique, ces transformations sont des combinaisons de translations et de rotations, avec trois types de symétrie correspondants : translationnelle, rotationnelle (y compris axiale) et hélicoïdale. Le champ magnétique généré par les bobines asymétriques d'un stellarator est doté de la torsion de la ligne de champ nécessaire pour minimiser la perte de particules associée au mouvement de dérive perpendiculaire. Cela supprime, en principe, la nécessité de conduire un courant électrique dans la région de confinement, et permet ainsi au réacteur de fonctionner dans un état proche d'un état stable (en pratique, des courants peuvent également exister dans les stellarators, mais ils sont sensiblement plus petits que ceux d'un tokamak). Malheureusement, la perte de symétrie axiale a un lourd tribut : en général, le moment cinétique \(p_{\varphi }\) n'est plus constant, et le confinement est dégradé. Cependant, une quantité de mouvement conservée qui contraint spatialement les orbites des particules peut être restaurée si le champ magnétique satisfait un type de symétrie plus général, la quasi-symétrie3,4. La caractéristique essentielle d'un champ magnétique quasi symétrique, dont la définition rigoureuse5 est donnée dans l'Eq. (1), est l'invariance \(\varvec{u}\cdot \nabla B=0\) du module \(B=\left|{\varvec{B}}\right|\) dans une certaine direction dans espace \(\varvec{u}\) (la quasi-symétrie). Pour être complet, il convient de noter qu'il existe deux types de quasisymétrie6,7,8,9 : la quasisymétrie faible (celle considérée dans le présent article) et la quasisymétrie forte. Dans le premier cas, la quasi-symétrie se traduit par une quantité de mouvement conservée au premier ordre dans l'expansion du centre directeur, tandis que dans le second, la loi de conservation provient d'une symétrie exacte de l'hamiltonien du centre directeur. De plus, la notion de quasisymétrie peut être généralisée à l'omnigénicité, propriété qui garantit la suppression des dérives perpendiculaires en moyenne10.

Malgré le fait que plusieurs stellarators visant la quasi-symétrie ou l'omnigénicité ont été construits11,12, que des efforts importants sont consacrés à l'optimisation des stellarators (voir par exemple13), et que des champs magnétiques quasi-symétriques ont été obtenus avec une grande précision numérique14, à l'heure actuelle l'existence de quasi-symétrie les champs magnétiques manquent de preuves mathématiques. Cette lacune est enracinée dans la complexité des équations aux dérivées partielles régissant la quasi-symétrie, qui sont parmi les plus difficiles en physique mathématique. En effet, d'une part le volume toroïdal où la solution est recherchée est lui-même une variable du problème. D'autre part, les équations gouvernantes appartenant à la classe des équations aux dérivées partielles du premier ordre, il est difficile d'établir des résultats généraux au-delà de l'existence de solutions locales par application d'outils analytiques classiques tels que la méthode des caractéristiques. La disponibilité de champs magnétiques quasi symétriques dépend également fortement des contraintes supplémentaires qui sont imposées au champ magnétique. Par exemple, si un champ magnétique quasi symétrique est recherché dans le cadre de la magnétohydrodynamique isotrope idéale, l'analyse de15 suggère que de telles configurations n'existent pas (voir aussi16,17,18,19) en raison d'un système d'équations surdéterminé où les contraintes géométriques sont plus nombreuses que les contraintes géométriques. degrés de liberté disponibles. Le problème de surdétermination est moins grave20,21,22 si les champs magnétiques quasi symétriques correspondent à des équilibres de magnétohydrodynamique anisotrope idéale23,24,25 où la pression scalaire est remplacée par un tenseur de pression. Dans ce contexte, il a été montré26 que des champs magnétiques quasi-symétriques locaux existent bien que de telles solutions locales ne soient définies que dans une portion d'un domaine toroïdal en raison d'un manque de périodicité autour du tore.

Le but de cet article est d'établir l'existence de champs magnétiques faiblement quasi symétriques dans des domaines toroïdaux en construisant des exemples explicites. Cette approche "constructive" a l'avantage de contourner la difficulté intrinsèque des équations générales régissant la quasi-symétrie, et repose sur la méthode de paramétrisation de Clebsch27, qui fournit une représentation efficace des variables impliquées, y compris la forme de la frontière entourant la région de confinement. Les champs magnétiques quasi symétriques rapportés dans le présent article tiennent dans des volumes toroïdaux asymétriques, sont lisses, ont des surfaces de flux imbriquées, ne sont pas invariants sous des isométries euclidiennes continues et peuvent être considérés comme des équilibres de magnétohydrodynamique anisotrope idéale. Néanmoins, ces résultats s'accompagnent de quelques mises en garde : étant donné que les solutions construites ne sont optimisées que pour satisfaire une quasi-symétrie faible, les champs magnétiques trouvés manquent d'autres caractéristiques qui seraient souhaitables du point de vue du confinement. En particulier, ils présentent une transformée de rotation nulle (le nombre de transits poloïdaux effectués par une ligne de champ magnétique lors d'un transit toroïdal est nul), ce ne sont pas des champs de vide et leur quasi-symétrie ne repose pas sur les surfaces de flux toroïdal. Par conséquent, malgré leur quasi-symétrie, les solutions construites ne conviennent pas pour confiner des particules dans une région délimitée. La question de savoir si des propriétés supplémentaires telles qu'une transformée de rotation non nulle ou un courant nul sont compatibles avec une quasi-symétrie faible reste donc un problème théorique ouvert.

Soit \(\Omega \subset \mathbb {R}^3\) un domaine lisse borné de bord \(\partial \Omega \). Dans le contexte de la conception d'un stellarator, \(\Omega \) représente le volume occupé par le plasma magnétiquement confiné, tandis que la surface de délimitation \(\partial \Omega \simeq \mathrm{T}^2\) a la topologie d'un tore ( une variété bidimensionnelle de genre 1). Il est important d'observer que, contrairement à la conception classique des tokamaks, la cuve \(\partial \Omega \) d'un stellarator ne présente ni symétrie axiale ni hélicoïdale. Dans \(\Omega \), un champ magnétique stationnaire \(\varvec{B}\left( {\varvec{x}}\right) \) est dit faiblement quasi-symétrique à condition qu'il existe un champ vectoriel \(\ varvec{u}\left( {\varvec{x}}\right) \) et une fonction \(\zeta \left( {\varvec{x}}\right) \) telle que le système suivant d'équations aux dérivées partielles tient,

où \(B=\left|{\varvec{B}}\right|\) est le module de \(\varvec{B}\), \(\varvec{n}\) désigne l'unité vers l'extérieur normale à \ (\partial \Omega \), et \(\varvec{u}\) est la direction de la quasi-symétrie. Comme expliqué précédemment, le système (1a) assure l'existence d'une quantité de mouvement conservée au premier ordre dans l'ordre des centres de guidage qui devrait améliorer le confinement des particules. Habituellement, la fonction \(\zeta \) est identifiée à une fonction de flux \(\Psi \) ayant des level sets toroïdaux. Alors, \(\varvec{B}\) et \(\varvec{u}\) reposent sur des surfaces de flux toroïdales \(\Psi =\mathrm{constante}\) et la quantité de mouvement conservée provenant de la quasisymétrie est bien approchée par la fonction flux \(\Psi \). Bien que cette propriété soit hautement souhaitable du point de vue du confinement car elle confine les orbites des particules dans une région délimitée, en principe une quasi-symétrie faible (1) peut être satisfaite même si les ensembles de niveaux de \(\zeta \) diffèrent des surfaces toroïdales (voir par exemple 5) . En particulier, autoriser les configurations avec \(\zeta \ne \Psi \) laisse la possibilité intéressante d'obtenir un bon confinement si les ensembles de niveaux de \(\zeta \) renferment des régions bornées avec une topologie qui peut s'écarter d'un tore. Mathématiquement, les quatre équations du système (1a) représentent ce que l'on appelle les symétries de Lie de la solution, c'est-à-dire l'annulation de la dérivée de Lie \(\mathfrak {L}_{\varvec{\xi }}T\) quantifiant la différence infinitésimale entre la valeur d'un champ tenseur T en un point donné et celle obtenue en advectant le champ tenseur le long du flux généré par le champ vectoriel \(\varvec{\xi }\). Plus précisément, la première équation et la troisième équation, qui impliquent que \(\varvec{B}\) et \(\varvec{u}\) sont des champs de vecteurs solénoïdaux, expriment la conservation des volumes advectés le long de \(\varvec{B }\) et \(\varvec{u}\) selon \(\mathfrak {L}_{\varvec{B}}dV=\mathfrak {L}_{\varvec{u}}dV=\left( {\nabla \cdot \varvec{B}}\right) dV=\left( {\nabla \cdot \varvec{u}}\right) dV=0\), où \(dV=dxdydz\) est le volume élément dans \(\mathbb {R}^3\). De même, la deuxième équation de (1a) exprime l'invariance du champ vectoriel \(\varvec{B}\) le long de \(\varvec{u}\) selon \(\mathfrak {L}_{\varvec{u }}\varvec{B}=\varvec{u}\cdot \nabla \varvec{B}-\varvec{B}\cdot \nabla \varvec{u}=\nabla \times \left( {\varvec{B }\times \varvec{u}}\right) =\varvec{0}\), tandis que la quatrième équation exprime l'invariance du module \(B^2\) le long de \(\varvec{u}\), c'est-à-dire \(\mathfrak {L}_{\varvec{u}}B^2=\varvec{u}\cdot \nabla B^2=0\). Pour plus de détails sur ces points, voir26.

La construction d'une solution de (1) est compliquée par le fait que \(\varvec{B}\), \(\varvec{u}\), \(\zeta \) et \(\partial \Omega \) ne sont pas des paramètres indépendants, mais ils doivent être optimisés de façon concurrente tout en respectant les exigences topologiques sur la forme de la surface englobante. Par exemple, assigner d'emblée la surface englobante \(\partial \Omega \) empêchera généralement l'existence de solutions dues à la surdétermination (les degrés de liberté disponibles ne sont pas suffisants pour satisfaire les équations de quasisymétrie). Un moyen pratique d'optimiser simultanément \(\varvec{B}\), \(\varvec{u}\), \(\zeta \) et \(\partial \Omega \) consiste à utiliser les paramètres de Clebsch27, qui permettent l'application de l'exigence topologique sur \(\partial \Omega \), qui doit être un tore, et l'extraction des degrés de liberté géométriques restants de \(\varvec{B}\), \(\varvec{u} \), et \(\zeta \). Pour voir cela, observez d'abord que la frontière \(\partial \Omega \) peut être exprimée comme un ensemble de niveaux d'une fonction de flux \(\Psi \) (qui est supposée exister) telle que \(\varvec{B} \cdot \nabla \Psi =0\) dans \(\Omega \). En particulier, cela implique que l'unité extérieure normale à la frontière \(\partial \Omega \) peut être écrite comme \(\varvec{n}=\nabla \Psi /\left|{\nabla \Psi }\right| \). Paramétrez ensuite \(\varvec{B}\) et \(\varvec{u}\) comme

où les paramètres de Clebsch \(\beta _1\), \(\beta _2\), \(u_1\) et \(u_2\) sont des fonctions (éventuellement multivaluées) qui doivent être déterminées à partir des équations de quasisymétrie. (1) et l'exigence topologique selon laquelle \(\Psi \) définit les surfaces toroïdales. Ici, il convient de noter que, en raison du théorème de Lie-Darboux28, pour un champ vectoriel solénoïdal lisse donné \(\varvec{v}\) on peut toujours trouver des fonctions à valeur unique \(\alpha _1\) et \(\ alpha _2\) défini dans un voisinage U suffisamment petit d'un point choisi \(\varvec{x}\in \Omega \) tel que \(\varvec{v}=\nabla \alpha _1\times \nabla \alpha _2 \) en U. Compte tenu de la paramétrisation (2), la condition aux limites \(\varvec{B}\cdot \varvec{n}=\varvec{B}\cdot \frac{\nabla \Psi }{\left |{\nabla \Psi }\right|}=0\) sur \(\partial \Omega \) peut maintenant être satisfait de manière identique en exigeant que \(\Psi =\Psi \left( {\beta _1,\beta _2 }\droite) \). De plus, en supposant \(\varvec{u}\ne \varvec{0}\), la quatrième équation de (1a) implique que le module \(B^2\) doit être une fonction \(f_B\left( {u_1 ,u_2}\right) \) de \(u_1\) et \(u_2\). Ainsi, en utilisant la paramétrisation (2), le système (1) se réduit à

En allant de (1) à (3), nous avons utilisé le fait que les première et troisième équations de (1a) sont satisfaites de manière identique.

Maintenant, notre tâche est de résoudre le système (3) en déterminant \(\beta _1\), \(\beta _2\), \(u_1\), \(u_2\), \(f_B\), \(\zeta \), et \(\Psi \) de sorte que les level sets de \(\Psi \) définissent des surfaces toroïdales. L'intégration directe de (3) est une tâche mathématiquement difficile en raison du nombre et de la complexité des contraintes géométriques impliquées. Par conséquent, il convient de partir de solutions spéciales connues correspondant à des configurations à symétrie axiale, puis d'effectuer une généralisation de rupture de symétrie sur mesure. Le champ magnétique du vide à symétrie axiale le plus simple est donné par

Le champ magnétique (4) satisfait le système (1) si, par exemple, la quasi-symétrie est choisie comme \(\varvec{u}_0=\varvec{B}_0\). Les surfaces de flux correspondantes sont données par des tores à symétrie axiale générés par des level sets de la fonction

avec \(r_0\) une constante réelle positive représentant la position radiale de l'axe toroïdal (grand rayon). Comparer l'éq. (2) avec Éqs. (4) et (5), on voit que \(\beta _1=u_1=z\), \(\beta _2=u_2=\log r\), \(B_0^2=1/r^2=e ^{-2u_2}\), et \(\Psi _0=\frac{1}{2}\left[ \left( {e^{\beta _2}-r_0}\right) ^2+\beta _1^ 2\droite] \).

Le tore à symétrie axiale (5) peut être généralisé à une classe plus large de surfaces toroïdales26 comme

Dans cette notation, \(\mu \), \(\mu _0\), \(\mathcal {E}\) et h sont des fonctions à valeur unique avec les propriétés suivantes. Pour chaque z, la fonction \(\mu \) mesure la distance d'un point dans le plan \(\left( {x,y}\right) \) à partir de l'origine dans \(\mathbb {R}^2\ ). La plus simple de ces mesures est la coordonnée radiale r. Plus généralement, sur chaque plan \(z=\mathrm{constante}\) les ensembles de niveaux de \(\mu \) peuvent s'écarter des cercles et présenter, par exemple, une forme elliptique. La fonction \(\mu _0\) attribue la valeur \(\mu \) à laquelle se trouve l'axe toroïdal. Pour le tore à symétrie axiale \(\Psi _0\), on a \(\mu _0=r_0\). La fonction \(\mathcal {E}>0\) exprime l'écart des sections transversales toroïdales (intersections du tore avec les level sets de l'angle toroïdal) des cercles. Par exemple, le tore à symétrie axiale \(\Psi _\mathrm{ell}=\frac{1}{2}\left[ \left( {r-r_0}\right) ^2+2z^2\right] \ ) correspondant à \(\mathcal {E}=2\) a une section elliptique. Enfin, la fonction h peut être interprétée comme une mesure du déplacement vertical de l'axe toroïdal par rapport au plan \(\left({x,y}\right) \). La figure 2 montre différentes surfaces toroïdales générées par (6).

Surfaces toroïdales obtenues comme level sets de la fonction \(\Psi \) définie par l'Eq. (6). (a) Tore à symétrie axiale \(\Psi =0.15\) avec \(\mu =r\), \(\mu _0=1\), \(\mathcal {E}=1\) et \(h =0\). (b) Tore elliptique \(\Psi =0.1\) avec \(\mu =\sqrt{x^2+0.4 y^2}\), \(\mu _0=1\), \(\mathcal {E }=1\) et \(h=0\). Notez que les sections \(z=\mathrm{constante}\) forment des ellipses. (c) Tore à symétrie axiale \(\Psi =0.15\) avec \(\mu =r\), \(\mu _0=1\), \(\mathcal {E}=0.4\) et \(h =0\). Notez que les sections \(\varphi =\mathrm{constante}\) forment des ellipses. (d) Tore \(\Psi =0.1\) avec \(\mu =r\), \(\mu _0=3\), \(\mathcal {E}=1\) et \(h=1 +0.5\sin \left( {4\varphi }\right) \). (e) Tore \(\Psi =0.1\) avec \(\mu =r\), \(\mu _0=3+0.5\sin \left( {4\varphi }\right) \), \(\ mathcal {E}=5+2.5\sin \left( {4\varphi }\right) \), et \(h=1+0.5\sin \left( {4\varphi }\right) \). (f) Tore \(\Psi =0.1\) avec \(\mu =\sqrt{x^2+(0.9+0.1\sin \left( {3\varphi }\right) )y^2}\), \(\mu _0=3+0.5\sin \left( {5\varphi }\right) \), \(\mathcal {E}=5+2.5\cos \left( {3\varphi }\right) \ ), et \(h=1+0.5\sin \left( {4\varphi }\right) \). Figure créée à l'aide de Wolfram Mathematica 12.2 (www.wolfram.com/mathematica).

La symétrie axiale du tore \(\Psi _0\) donnée par (5) peut être brisée en introduisant une dépendance à l'angle toroïdal \(\varphi \) dans l'une des fonctions \(\mu \), \(\mu _0\), \(\mathcal {E}\), ou h apparaissant dans (6). Posons \(\mu =r\), prenons \(\mu _0\) et \(\mathcal {E}\) comme constantes positives, et considérons un déplacement axial vertical brisant la symétrie \(h=h\left( {r,\varphi ,z}\right) \). Pour que le \(\Psi\) correspondant définisse une surface toroïdale, la fonction h doit être univoque. Par conséquent, \(\varphi \) doit apparaître dans h comme argument d'une fonction périodique. L'ansatz le plus simple pour h est donc

Ici \(m\in \mathbb {Z}\) est un entier, \(\epsilon \) un paramètre de contrôle positif tel que le champ magnétique à symétrie axiale standard \(\varvec{B}_0\) avec des surfaces de flux \( \Psi _0\) peut être récupéré dans la limite \(\epsilon \rightarrow 0\), et g fonction de r et z à déterminer. Rappelez-vous maintenant que de l'Eq. (3) la fonction \(\Psi \) est liée aux potentiels de Clebsch \(\beta _1\) et \(\beta _2\) générant le champ magnétique \(\varvec{B}=\nabla \beta _1\ fois \nabla \beta _2\) selon \(\Psi \left( {\beta _1,\beta _2}\right) \). En comparant avec le cas à symétrie axiale (5) on en déduit donc que l'analogie est vraie si \(\beta _1=zh\) et \(\beta _2=\log r\). En définissant \(\eta =m\varphi +g\), il s'ensuit que le champ magnétique quasi-symétrique candidat est

où g doit être déterminé en imposant la quasi-symétrie. Ensuite, observez que

Une caractéristique essentielle de la quasi-symétrie (3) est que le module \(B^2\) ne peut s'écrire qu'en fonction de deux variables, \(B^2=f_B\left( {u_1,u_2}\right) \) . De l'éq. (9) on voit que ce résultat peut être obtenu en posant \(\partial g/\partial z=q\left( {r}\right) \) pour une fonction radiale \(q\left( {r}\right ) \) de sorte que \(u_1=\eta \), \(u_2=\log r\), et aussi

avec \(v\left( {r}\right) \) une fonction radiale. La direction candidate de quasisymétrie est donc

avec \(\sigma \left( {\eta ,r}\right) \) une fonction de \(\eta \) et r à déterminer. Puisque par construction \(B^2=B^2\left( {u_1,u_2}\right) \), \(\Psi =\Psi \left( {\beta _1,\beta _2}\right) \) , et que \(\varvec{B}\) et \(\varvec{u}\) comme donné par (8) et (11) sont solénoïdaux, la seule équation restante dans le système (3) à satisfaire est la première un. En particulier, nous avons

Par conséquent, en définissant \(\sigma =\sigma \left( {r}\right) \), le système (3) est satisfait de

Sans perte de généralité, nous pouvons fixer \(\sigma =-r^3\) de sorte que \(\zeta =mr\) et la configuration quasi-symétrique est donnée par

où \(\mathcal {E}\) est une constante réelle positive.

Pour que la famille de solutions (14) soit qualifiée à la fois de quasi-symétrique et sans isométries euclidiennes continues, nous devons vérifier que le champ magnétique (14a) n'est pas invariant sous une combinaison appropriée de translations et de rotations. Pour le voir, considérons le cas \(q=1/r\) et \(v=0\) correspondant à

où \(\mathcal {E}\) est une constante réelle positive. Remarquez que le champ magnétique (15a) est lisse dans tout domaine \(V\subset \mathbb {R}^3\) ne contenant pas l'axe vertical \(r=0\). Pour exclure l'existence de toute isométrie euclidienne continue pour (15a), il suffit de montrer que l'équation

n'a de solution pour aucun choix de champs vectoriels constants \(\varvec{a},\varvec{b}\in \mathbb {R}^3\) avec \(\varvec{a}^2+\varvec{b }^2\ne 0\). En effet, puisque \(\varvec{\xi }=\varvec{a}+\varvec{b}\times \varvec{x}\) représente le générateur d'isométries euclidiennes continues, l'impossibilité de satisfaire (16) empêche la champ \(\varvec{B}\) de posséder une symétrie translationnelle, axiale ou hélicoïdale. Pour plus de détails sur ce point, voir26. Ensuite, en introduisant à nouveau \(\eta =m\varphi +z/r\), à partir de l'Eq. (15a) on a

Il s'ensuit que

Soient \(\left( {a_x,a_y,a_z}\right) \) et \(\left( {b_x,b_y,b_z}\right) \) les composantes cartésiennes de \(\varvec{a}\) et \(\varvec{b}\). Sur la surface \(\eta =0\), correspondant à \(z=z\left( {x,y}\right) =-mr\varphi =-m\arctan \left( {y/x}\right ) \sqrt{x^2+y^2}\), nous avons \(\sin \eta =0\) et \(\cos \eta =1\), et donc,

Cette quantité s'annule pourvu que \(a_x=a_y=b_x=b_y=0\). Considérons maintenant la surface \(\eta =\pi /2\), qui implique \(z=z\left( {x,y}\right) =r\left( {\pi /2-m\varphi }\ droite) =\sqrt{x^2+y^2}\left( {\pi /2-m\arctan \left( {y/x}\right) }\right) \). Dans ce cas \(\sin \eta =1\) tandis que \(\cos \eta =0\). De plus, puisque les seuls composants survivants dans \(\varvec{\xi }\) sont ceux provenant de \(a_z\) et \(b_z\), on a \(\varvec{\xi }\cdot \nabla r= 0\), et donc

Cette quantité s'annule pourvu que \(a_z=b_z=0\). Ainsi, le champ magnétique quasi symétrique (15a) ne peut pas posséder d'isométries euclidiennes continues. L'équation (20) suggère également que le champ magnétique (15a) est doté d'une sorte de symétrie hélicoïdale généralisée (bien que cette symétrie ne corresponde pas à une isométrie de \(\mathbb {R}^3\)). En effet, dans un champ magnétique à symétrie hélicoïdale, on attend \(B^2=B^2\left( {r,m\varphi +z}\right) \) pour une constante m. Cependant, la solution obtenue (15a) est telle que \(B^2=B^2\left( {r,m\varphi +z/r}\right) \) ressort de (17). En ce sens, le champ magnétique (15a) possède une symétrie hélicoïdale différente paramétrée par 1/r sur chaque surface magnétique \(r=\mathrm{constante}\).

De même, la fonction de flux \(\Psi \) définie par Eq. (15c) n'est pas invariant sous les isométries euclidiennes continues. En effet, l'équation

n'a pas de solution pour tout choix non trivial de \(\varvec{a},\varvec{b}\in \mathbb {R}^3\). Ceci peut être vérifié facilement pour \(\left|{m}\right|>1\). En effet, dans ce cas il suffit d'évaluer \(\varvec{\xi }\cdot \nabla \Psi \) sur la droite \(r=r_0\), \(z=0\) paramétrée par \(\varphi \). Ici nous avons

Cette quantité s'annule identiquement à condition que \(a_x=a_y=a_z=b_x=b_y=b_z=0\).

Examinons les propriétés de la configuration quasi symétrique (15). Tout d'abord, observez que les ensembles de niveaux de (15c) définissent des surfaces toroïdales (voir Fig. 3a), ce qui implique que le champ magnétique (15a) a des surfaces de flux imbriquées. Ensuite, notez que la fonction \(\zeta \) telle que \(\varvec{B}\times \varvec{u}=\nabla \zeta \) est proportionnelle à la coordonnée radiale, soit \(\zeta =mr\ ). Cette fonction est associée à la quantité de mouvement conservée \(\bar{p}\) générée par la quasi-symétrie. En particulier, nous avons5

Ici, \(v_{\parallel }\) désigne la composante de la vitesse d'une particule chargée le long du champ magnétique \(\varvec{B}\) tandis que \(\epsilon _{\mathrm{gc}}\sim \ rho /L\) est un petit paramètre associé à l'ordre des centres de guidage, \(\rho \) le rayon gyroscopique et L une échelle de longueur caractéristique pour le champ magnétique. Il s'ensuit que les particules chargées se déplaçant dans le champ magnétique (15a) conserveront approximativement leur position radiale puisque \(\bar{p}\approx -\frac{m}{\epsilon _{\mathrm{gc}}}r\) . Cette propriété joue en faveur d'un bon confinement, bien qu'elle ne puisse pas empêcher les particules de dériver dans le sens vertical. La situation est donc analogue au cas d'un champ magnétique dans le vide à symétrie axiale \(\varvec{B}_{0}=\nabla \varphi \). Les ensembles de niveaux de \(\zeta =mr\) sur une surface de flux (15c) sont représentés sur la figure 3b. Ces contours correspondent à des lignes de champ magnétique car le champ magnétique (15a) est tel que \(\varvec{B}\cdot \nabla \Psi =\varvec{B}\cdot \nabla r=0\), et les lignes de champ sont solutions de l'équation différentielle ordinaire \(\dot{\varvec{x}}=\varvec{B}\). En particulier, observez que les lignes de champ magnétique ne sont pas tordues (la transformée rotationnelle est nulle) et sont données par les intersections des surfaces \(\Psi =\mathrm{constante}\) et \(r=\mathrm{constante} \), ce qui implique que leur projection sur le plan \(\left( {x,y}\right) \) est un cercle. Les tracés du champ magnétique (15a) et de son module \(B^2\) sont donnés aux Fig. 3c, d. Il convient également de noter que le champ magnétique (15a) n'est pas un champ de vide. En effet, il possède un courant non nul \(\varvec{J}=\nabla \times \varvec{B}\) donné par

Les figures 3e, f montrent des tracés du champ courant \(\varvec{J}\) et du module correspondant \(J^2\). La force de Lorentz \(\varvec{J}\times \varvec{B}\) peut être évaluée comme étant

Il n'est pas difficile de vérifier que le membre de droite de cette équation ne peut pas s'écrire comme le gradient d'un champ de pression \(\nabla P\). Par conséquent, le champ magnétique quasi symétrique (15a) ne représente pas un équilibre de magnétohydrodynamique idéale. Néanmoins, il peut être considéré comme un équilibre de magnétohydrodynamique anisotrope \(\varvec{J}\times \varvec{B}=\nabla \cdot \Pi \) à condition que les composantes \(P_{\perp },P_{\ parallèle }\) du tenseur de pression \(\Pi ^{ij}=P_{\perp }\delta ^{ij}+\left( {P_{\parallel }-P_{\perp }}\right) B^ iB^j/B^2\) sont choisis de manière appropriée. En effet, il suffit de poser \(P_{\perp }=\left( {P_0-B^2}\right) /2\) et \(P_{\parallel }=\left( {P_0+B^2 }\right) /2\) avec \(P_0\) une constante réelle (sur ce point, voir26). Tracés de la force de Lorentz \(\varvec{J}\times \varvec{B}\) et de son module \(\left|{\varvec{J}\times \varvec{B}}\right|^2\) sont donnés dans les Fig. 3g, h. Ensuite, observez que la quasi-symétrie \(\varvec{u}\) donnée par Eq. (15b) n'est pas tangent aux surfaces de flux toriques \(\Psi \) définies en (15c). En effet,

Les tracés de la quasisymétrie \(\varvec{u}\) et de son module \(u^2\) peuvent être trouvés sur la Fig. 3i, j.

La configuration quasi symétrique (15) pour \(r_0=3\), \(\epsilon =0.2\), \(m=4\) et \(\mathcal {E}=0.7\). (a) Surface de flux \(\Psi =0.1\). (b) Ensembles de niveaux de r sur la surface de flux \(\Psi =0.1\). Ces contours correspondent à des lignes de champ magnétique. (c), (d), (e), (f), (g), (h), (i), (j) : tracés du champ magnétique \(\varvec{B}\), du module \ (B^2\), le courant électrique \(\varvec{J}\), le module \(J^2\), la force de Lorentz \(\varvec{J}\times \varvec{B}\), le module \(\left|{\varvec{J}\times \varvec{B}}\right|^2\), la quasisymétrie \(\varvec{u}\) et le module \(u^2\ ) sur la surface de flux \(\Psi =0.1\). Figure créée à l'aide de Wolfram Mathematica 12.2 (www.wolfram.com/mathematica).

Enfin, considérons comment la quasi-symétrie de la configuration (15) se compare à la compréhension habituelle selon laquelle le module d'un champ magnétique quasi-symétrique dépend d'une fonction de flux \(\Psi _b\) et d'une combinaison linéaire d'angle toroïdal \(\varphi _b\) et l'angle poloïdal \(\vartheta _b\), c'est-à-dire \(B^2\left( {\Psi _b,M\vartheta _b-N\varphi _b}\right) \) avec M, N entiers. Lorsque \(B^2=B^2\left( {\Psi _b,M\vartheta _b-N\varphi _b}\right) \), sur chaque surface de flux les contours du module \(B^2\) dans le plan \(\left( {\varphi _b,\vartheta _b}\right) \) forment des lignes droites. Pour le champ magnétique quasi symétrique (15a) on a \(B^2=B^2\left( {r,m\varphi +z/r}\right) \). Ainsi, la correspondance avec le réglage habituel peut être obtenue par l'identification \(\Psi _b\rightarrow r\), \(\varphi _b\rightarrow \varphi \), et \(\vartheta _b\rightarrow z/r\) . Cette correspondance peut être rendue plus rigoureuse en rappelant que la propriété \(B^2=B^2\left( {\Psi _b,M\vartheta _b-N\varphi _b}\right) \) découle de l'écriture du triple vecteur formulation du produit de quasisymétrie, \(\nabla \Psi _b\times \nabla B\cdot \nabla \left( {\varvec{B}\cdot \nabla B}\right) =0\), par les coordonnées de Boozer \(\ gauche( {\Psi _b,\varphi _b,\vartheta _b}\right) \). Dans ces coordonnées, le champ magnétique a l'expression \(\varvec{B}=B_{\Psi _b}\left( {\Psi _b,\varphi _b,\vartheta _b}\right) \nabla \Psi _b+B_{\ varphi _b}\left( {\Psi _b}\right) \nabla \varphi _b+B_{\vartheta _b}\left( {\Psi _b}\right) \nabla \vartheta _b\), ce qui implique \(\ varvec{J}\cdot \nabla \Psi _b=0\). C'est une propriété satisfaite par les équilibres magnétohydrodynamiques à pression isotrope. Cependant, comme discuté ci-dessus, la solution (15a) n'appartient pas à la classe des équilibres magnétohydrodynamiques à pression isotrope. Par conséquent, l'existence des coordonnées de Boozer n'est pas triviale. Néanmoins, pour la solution (15a) il est possible d'identifier les coordonnées généralisées de Boozer \(\left( {\Psi _{gb},\varphi _{gb},\vartheta _{gb}}\right) =\left( {r,\eta /r,-z/r}\right) \) avec la propriété que le jacobien \(\mathcal {J}=\nabla \Psi _{gb}\cdot \nabla \varphi _{gb} \times \nabla \vartheta _{gb}=-m/r^3\) est une fonction de la fonction de flux \(\Psi _{gb}=r\) et la quasi-symétrie est exprimée par la condition \(\partial B/\partial \vartheta _{gb}=0\) ou \(B^2=B^2\left( {r,m\varphi +z/r}\right) \) (sur ce point, voir6) .

La figure 4 montre comment les contours du champ magnétique quasi symétrique (15a) forment des droites dans le plan \(\left( {m\varphi ,z/r}\right)\). Ensuite, il est utile de déterminer de combien les contours de \(B^2\) s'écartent des lignes droites sur chaque surface de flux \(\Psi\). À cette fin, observez que l'Eq. (15c) peut être inversé pour obtenir \(r\left( {\Psi ,z/r,\eta }\right) \) avec \(\eta =m\varphi +z/r\) de sorte que le module ( 17) peut être écrit sous la forme \(B^2=B^2\left( {r\left( {\Psi ,z/r,\eta }\right) ,\eta }\right) \). La figure 5 montre les contours de \(B^2\) sur le plan \(\left( {m\varphi ,z/r}\right) \) pour une valeur fixe de \(\Psi \) et différents choix de paramètre \(\epsilon \) contrôlant le degré d'asymétrie de la solution. En particulier, notez comment la solution (15) se rapproche de la symétrie axiale pour des valeurs plus petites de \(\epsilon \).

Module \(B^2\left( {r,m\varphi +z/r}\right) \) du champ magnétique quasi symétrique (15a) pour \(\epsilon =0.2\) et \(m=4\) comme on le voit dans le plan \(\left( {m\varphi ,z/r}\right) \) pour différentes valeurs de la coordonnée radiale r. (a) Tracé sur l'ensemble de niveaux \(r=1\). (b) Tracé sur l'ensemble de niveaux \(r=2\). Observez comment les contours de \(B^2\) forment des lignes droites. Figure créée à l'aide de Wolfram Mathematica 12.2 (www.wolfram.com/mathematica).

Module \(B^2\left( {r\left( {\Psi ,z/r,\eta }\right) ,\eta }\right) \) avec \(\eta =m\varphi +z/r \) du champ magnétique quasi symétrique (15a) pour \(r_0=3\), \(m=4\) et \(\mathcal {E}=0.7\) comme on le voit dans le \(\left( {m\ varphi ,z/r}\right) \) plan correspondant à \(\Psi =0.1\). (a) Le cas \(\epsilon =0.01\). (b) Le cas \(\epsilon =0.05\). Notez que les régions blanches du graphique reflètent le fait que pour des valeurs données de \(\Psi \) et \(\varphi \) la plage de z est limitée. Figure créée à l'aide de Wolfram Mathematica 12.2 (www.wolfram.com/mathematica).

En conclusion, nous avons démontré l'existence de champs magnétiques faiblement quasi symétriques dans des volumes toroïdaux en construisant des exemples explicites (14) par la méthode de paramétrisation de Clebsch. Les configurations obtenues sont des solutions du système (1) avec les propriétés suivantes. Dans le domaine toroïdal optimisé \(\Omega \), le champ magnétique \(\varvec{B}\) est lisse et muni de surfaces de flux emboîtées \(\Psi \). \(\varvec{B}\) et \(\Psi \) ne présentent pas d'isométries euclidiennes continues, c'est-à-dire d'invariance sous une combinaison appropriée de translations et de rotations. Le champ magnétique \(\varvec{B}\) a une transformée rotationnelle nulle, tandis que la quasi-symétrie \(\varvec{u}\) n'est pas tangente aux contours de la fonction de flux \(\Psi \) définie en (14c), mais repose sur des surfaces de rayon constant r. En particulier, \(\varvec{B}\times \varvec{u}=m\nabla r\) avec m un entier tandis que \(B^2=B^2\left( {r,m\varphi +z/ r}\right) \) dans l'exemple (15). L'impulsion conservée résultant de la quasi-symétrie est donnée par (23), qui est approximativement la position radiale d'une particule chargée. Le champ magnétique \(\varvec{B}\) n'est pas un champ de vide puisqu'un courant \(\varvec{J}=\nabla \times \varvec{B}\ne \varvec{0}\) est présent. Les champs magnétiques quasi symétriques obtenus (14a) peuvent être considérés comme des solutions de magnétohydrodynamique anisotrope si les composantes du tenseur de pression sont convenablement choisies26.

En plus de fournir une preuve mathématique de l'existence de solutions au système (1) avec les propriétés décrites ci-dessus, ce travail offre un cadre théorique alternatif pour les efforts numériques et expérimentaux consacrés à la conception de stellarator moderne, et ouvre peut-être la voie au développement de semi -schémas analytiques visant l'optimisation des champs magnétiques de confinement. Le prochain objectif de la présente théorie serait d'améliorer encore les résultats obtenus en vérifiant l'existence de solutions de vide \(\nabla \times \varvec{B}=\varvec{0}\) du système (1) telles que le module du champ magnétique peut être écrit en fonction de la fonction de flux et d'une combinaison linéaire d'angles toroïdaux et poloïdaux, \(B^2=B^2\left( {\Psi ,M\vartheta -N\varphi }\right ) \), et en particulier d'établir l'existence de configurations quasi-symétriques du vide avec la torsion de la ligne de champ nécessaire pour piéger efficacement les particules chargées.

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La recherche de NS a été partiellement soutenue par les subventions JSPS KAKENHI n° 21K13851 et n° 22H00115. L'auteur reconnaît avoir eu des discussions utiles avec Z. Qu, D. Pfefferlé, RL Dewar, T. Yokoyama et avec plusieurs membres de la Simons Collaboration on Hidden Symetries and Fusion Energy.

Graduate School of Frontier Sciences, Université de Tokyo, Kashiwa, Chiba, 277-8561, Japon

Naoki Sato

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NS a développé le formalisme théorique, effectué les calculs analytiques et rédigé le manuscrit.

Correspondance à Naoki Sato.

Les ensembles de données générés pendant et/ou analysés pendant l'étude en cours sont disponibles auprès de l'auteur correspondant sur demande raisonnable.

L'auteur ne déclare aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Sato, N. Existence de champs magnétiques faiblement quasi symétriques sans transformation rotationnelle dans des domaines toroïdaux asymétriques. Sci Rep 12, 11322 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-15594-9

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Reçu : 20 avril 2022

Accepté : 27 juin 2022

Publié: 05 juillet 2022

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-022-15594-9

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